I Kina var det for lenge siden en stor flom. Folk prøvde å ofre til «elveguden» i elva Lo for å stagge hans sinne.
Hver gang kom det en skilpadde opp av elva og vandret rundt offeret før den gikk tilbake til elva. Elveguden aksepterte ikke offeret, og flommen fortsatte.
Dette gjentok seg inntil et lite barn skjønte at den kuriøse figuren på skilpaddeskallet forestilte et magisk kvadrat.
Skrevet på en litt ryddigere måte så det slik ut:
+-----+-----+-----+ | 4 | 9 | 2 | |-----+-----+-----+ | 3 | 5 | 7 | |-----+-----+-----+ | 8 | 1 | 6 | +-----+-----+-----+
Summen av alle rader, kolonner, diagonaler og alle kvadrater = magisk sum = 15.
Da skjønte kineserene at det rette antallet ofre var 15, og de klarte å stagge elveguden.
Tredje ordens kvadrater har 3 × 3 ruter.
Summen av alle rader, kolonner, diagonaler og alle kvadrater har den magiske summen 15.
De kan konstrueres etter følgende formel:
+-------+--------+-------+ | c-b | c+a+b | c-a | |-------+--------+-------+ | c-a+b | c | c+a-b | |-------+--------+-------+ | c+a | c-a-b | c+b | +-------+--------+-------+eller:
+---------+--------+----------+ | a | b | 15-a-b | |---------+--------+----------+ | 20-2a-b | 5 | -10+2a+b | |---------+--------+----------+ | -5+a+b | 10-b | 10-a | +---------+--------+----------+
Alle er imidlertid essensielt samme kvadrat, bare rotert, dreid eller speilet.
Eksempel: rotert.
+-----+-----+-----+ | 8 | 3 | 4 | |-----+-----+-----+ | 1 | 5 | 9 | |-----+-----+-----+ | 6 | 7 | 2 | +-----+-----+-----+
Fjerde ordens kvadrater har 4 × 4 ruter og 16 tall.
+-----+-----+-----+-----+ | 12 | 13 | 7 | 2 | |-----+-----+-----+-----| | 6 | 3 | 9 | 16 | |-----+-----+-----+-----| | 1 | 8 | 14 | 11 | |-----+-----+-----+-----| | 15 | 10 | 4 | 5 | +-----+-----+-----+-----+
Summen av alle rader,
kolonner og diagonaler
har den magiske summen 34.
– Også de ni små kvadratene har samme sum.
Hvert kvadrat har 4 rotasjoner og 2 speilinger,
som gir 8 «stive» symmetrier.
I tillegg er det «aritmetrier»,
der alle 8 regnestykkene beholdes
(4 rader, 4 kolonner og 2 diagonaler) i kvadratet,
men geometrien forandres.
Eksempel: Aritmetri.
+-----+-----+-----+-----+ | 15 | 4 | 5 | 10 | |-----+-----+-----+-----| | 6 | 9 | 16 | 3 | |-----+-----+-----+-----| | 12 | 7 | 2 | 13 | |-----+-----+-----+-----| | 1 | 14 | 11 | 8 | +-----+-----+-----+-----+
Et enkelt kvadrat kan ha 128 variasjoner inkludert, dreininger, speilinger, rotasjoner, symmetrier og aritmetrier.
+---------+---------+---------+---------+ | a | a+b+c+e | a+c+d | a+b+d+e | |---------+---------+---------+---------| | a+b+c+d | a+d+e | a+b | a+c+e | |---------+---------+---------+---------| | a+b+e | a+c |a+b+c+d+e| a+d | |---------+---------+---------+---------| | a+c+d+e | a+b+d | a+e | a+b+c | +---------+---------+---------+---------+
Tilsammen finnes 7040 muligheter,
inkludert dreininger, speilinger, rotasjoner, symmetrier og aritmetrier;
hvorav 880 er unike.
Femte ordens kvadrater har 5 × 5 ruter med 25 tall.
+-----+-----+-----+-----+-----+ | a | b | c | d | e | |-----+-----+-----+-----+-----+ | f | g | h | i | j | |-----+-----+-----+-----+-----+ | k | l | m | n | o | |-----+-----+-----+-----+-----+ | p | q | r | s | t | +-----+-----+-----+-----+-----+ | u | v | w | x | y | +-----+-----+-----+-----+-----+
Femte orden har trolig over 13 millioner magiske kvadrater.
n-te ordens kvadrater har n × n ruter, hvor n er et vilkårlig stort tall.
2200 fvt. «Lo-Shu» i Kina er den eldste magiske firkanten.
Legenden sier at det var en stor flom i elva Lo.
Folk prøvde å ofre til «elveguden»
for å stagge gudens sinne.
Hver gang kom det en skilpadde opp av elva og vandret rundt offeret før den gikk tilbake til elva. Elveguden aksepterte ikke offeret, og flommen fortsatte.
Dette gjentok seg inntil et lite barn skjønte at den kuriøse figuren på skilpaddeskallet forestilte et magisk kvadrat.
190 fvt. Tredje ordens magiske firkant var kjent for kinesiske matematikere.
587. Verdens eldste daterbare 4-ordens magiske firkant
finnes i «Brhat Samhita» i India,
et leksikonverk skrevet av Varahamihirai.
Firkanten ble brukt til å lage parfymer ved bruk av 4 stoffer selektert fra 16 stoffer.
Hver celle representerer en bestemt ingrediens,
men cellenummeret representerer andelen.
Det totale volumet av blandingen var 18.
983. Prøver av magiske firkanter fra 3 til 9 vises i et leksikon fra Bagdad.
Slutten av 1100-tallet. De generelle metodene for å konstruere magiske firkanter var godt etablert.
1356. Alle 4de ordens pandiagonale magiske firkanter ble oppregnet av Narayana i India.
Etter 1400-tallet. Magiske firkanter ble gjort kjent i Europa gjennom oversettelse fra arabiske kilder i renessansen.
1650. Kinas første magiske firkant av 10de orden ble publisert i Zhang Chao’s Xinzhai zazu.
+-----+-----+-----+-----+ | a | b | c | d | |-----+-----+-----+-----| | e | f | g | h | |-----+-----+-----+-----| | i | j | k | l | |-----+-----+-----+-----| | m | n | o | p | +-----+-----+-----+-----+