Magiske firkanter

I Kina var det for lenge siden en stor flom. Folk prøvde å ofre til «elveguden» i elva Lo for å stagge hans sinne.

Hver gang kom det en skilpadde opp av elva og vandret rundt offeret før den gikk tilbake til elva. Elveguden aksepterte ikke offeret, og flommen fortsatte.

Dette gjentok seg inntil et lite barn skjønte at den kuriøse figuren på skilpaddeskallet forestilte et magisk kvadrat.

Skrevet på en litt ryddigere måte så det slik ut:

+-----+-----+-----+
|  4  |  9  |  2  |
|-----+-----+-----+
|  3  |  5  |  7  |
|-----+-----+-----+
|  8  |  1  |  6  |
+-----+-----+-----+

Summen av alle rader, kolonner, diagonaler og alle kvadrater = magisk sum = 15.

Da skjønte kineserene at det rette antallet ofre var 15, og de klarte å stagge elveguden.

Tredje ordens kvadrater

Tredje ordens kvadrater har 3 × 3 ruter.

Summen av alle rader, kolonner, diagonaler og alle kvadrater har den magiske summen 15.

De kan konstrueres etter følgende formel:

+-------+--------+-------+
| c-b   |  c+a+b |  c-a  |
|-------+--------+-------+
| c-a+b |   c    | c+a-b |
|-------+--------+-------+
| c+a   | c-a-b  |  c+b  |
+-------+--------+-------+

+---------+--------+----------+
|   a     |    b   |  15-a-b  |
|---------+--------+----------+
| 20-2a-b |   5    | -10+2a+b |
|---------+--------+----------+
| -5+a+b  |  10-b  |   10-a   |
+---------+--------+----------+

Det er åtte mulige verdier for a og b:

a=2  b=7.

a=2  b=9.

a=4  b=3.

a=4  b=9.

a=6  b=1.

a=6  b=7.

a=8  b=1.

a=8  b=3.

som gir åtte kvadrater.

Alle er imidlertid essensielt samme kvadrat, bare rotert, dreid eller speilet.

Eksempel: rotert.

+-----+-----+-----+
|  8  |  3  |  4  |
|-----+-----+-----+
|  1  |  5  |  9  |
|-----+-----+-----+
|  6  |  7  |  2  |
+-----+-----+-----+

Fjerde ordens kvadrater

Fjerde ordens kvadrater har 4 × 4 ruter og 16 tall.

+-----+-----+-----+-----+
| 12  |  13 |  7  |  2  | 
|-----+-----+-----+-----|
|  6  |  3  |  9  | 16  |
|-----+-----+-----+-----|
|  1  |  8  | 14  | 11  |
|-----+-----+-----+-----|
| 15  | 10  |  4  |  5  |
+-----+-----+-----+-----+

Summen av alle rader, kolonner og diagonaler har den magiske summen 34.
– Også de ni små kvadratene har samme sum.

Hvert kvadrat har 4 rotasjoner og 2 speilinger, som gir 8 «stive» symmetrier.
I tillegg er det «aritmetrier», der alle 8 regnestykkene beholdes (4 rader, 4 kolonner og 2 diagonaler) i kvadratet, men geometrien forandres.

Eksempel: Aritmetri.

+-----+-----+-----+-----+
| 15  |  4  |  5  | 10  | 
|-----+-----+-----+-----|
|  6  |  9  | 16  |  3  |
|-----+-----+-----+-----|
| 12  |  7  |  2  | 13  |
|-----+-----+-----+-----|
|  1  | 14  | 11  |  8  |
+-----+-----+-----+-----+

Et enkelt kvadrat kan ha 128 variasjoner inkludert, dreininger, speilinger, rotasjoner, symmetrier og aritmetrier.

+---------+---------+---------+---------+
|    a    | a+b+c+e | a+c+d   | a+b+d+e | 
|---------+---------+---------+---------|
| a+b+c+d |  a+d+e  |  a+b    |  a+c+e  |
|---------+---------+---------+---------|
|  a+b+e  |   a+c   |a+b+c+d+e|   a+d   |
|---------+---------+---------+---------|
| a+c+d+e |  a+b+d  |   a+e   |  a+b+c  |
+---------+---------+---------+---------+

Tilsammen finnes 7040 muligheter, inkludert dreininger, speilinger, rotasjoner, symmetrier og aritmetrier;
hvorav 880 er unike.

Femte ordens kvadrater

Femte ordens kvadrater har 5 × 5 ruter med 25 tall.

+-----+-----+-----+-----+-----+
|  a  |  b  |  c  |  d  |  e  | 
|-----+-----+-----+-----+-----+
|  f  |  g  |  h  |  i  |  j  | 
|-----+-----+-----+-----+-----+
|  k  |  l  |  m  |  n  |  o  | 
|-----+-----+-----+-----+-----+
|  p  |  q  |  r  |  s  |  t  | 
+-----+-----+-----+-----+-----+
|  u  |  v  |  w  |  x  |  y  | 
+-----+-----+-----+-----+-----+

Femte orden har trolig over 13 millioner magiske kvadrater.

n-te ordens firkanter

n-te ordens kvadrater har n × n ruter, hvor n er et vilkårlig stort tall.

Historikk

2200 fvt. «Lo-Shu» i Kina er den eldste magiske firkanten.

190 fvt. Tredje ordens magiske firkant var kjent for kinesiske matematikere.

587. Verdens eldste daterbare 4-ordens magiske firkant finnes i «Brhat Samhita» i India, et leksikonverk skrevet av Varahamihirai.
Firkanten ble brukt til å lage parfymer ved bruk av 4 stoffer selektert fra 16 stoffer. Hver celle representerer en bestemt ingrediens, men cellenummeret representerer andelen. Det totale volumet av blandingen var 18.

983. Prøver av magiske firkanter fra 3 til 9 vises i et leksikon fra Bagdad.

Slutten av 1100-tallet. De generelle metodene for å konstruere magiske firkanter var godt etablert.

1356. Alle 4de ordens pandiagonale magiske firkanter ble oppregnet av Narayana i India.

Etter 1400-tallet. Magiske firkanter ble gjort kjent i Europa gjennom oversettelse fra arabiske kilder i renessansen.

1650. Kinas første magiske firkant av 10de orden ble publisert i Zhang Chao’s Xinzhai zazu.

Ordliste

Begreper  –  er først og fremst redskap for tenkning.

Se også:  Begrep  Filosofiordbok.html  Begreper.html  Trekant.html 

Firkanter  –  finnes av flere typer.

Se også:   ▭   ◻   Magiske◻ Polygon  ◯   △   Trekant.html  Matematikkordbok.html 

Kvadrat  –  er en likesidet firkant med 90° vinkler.

Se også:  ◻    ▭   Magiske◻  △   Matematikkordbok.html 

+-----+-----+-----+-----+
|  a  |  b  |  c  |  d  | 
|-----+-----+-----+-----|
|  e  |  f  |  g  |  h  |
|-----+-----+-----+-----|
|  i  |  j  |  k  |  l  |
|-----+-----+-----+-----|
|  m  |  n  |  o  |  p  |
+-----+-----+-----+-----+

Magiske kvadrater  –  er tall plassert i en kvadrat hvor summen av rader, kolonner og diagonaler har en fast sum.

– I semimagiske er det bare kolonne- og linjesummene som er konstante.

– I vanlige magiske er i tillegg de store diagonalene konstante.

– I panmagiske 4de ordens kvadrater er også de små diagonalene konstante, (m+b+g+l i eksemplet til venstre, samt i+f+c+p, osv. osv.).

– I komplette magiske 4de ordens kvadrater har også de fire små hjørnefirkantene samme sum. F.eks. firkanten med tallene a+b+e+f.
I tillegg utgjør hjørnetallene en liten firkant; a+d+m+p.
Og i tillegg utgjør hjørnetallene i 3x3 firkantene en liten firkant; a+c+i+k og også e+g+m+o, osv.

– I perfekte magiske 4de ordens kvadrater utgjør også tallene a+b+m+n et lite kvadrat, sammen med c+d+o+p og a+e+d+h og i+m+l+p.
I tillegg utgjør kvadratet e+i+h+l et magisk kvadrat, sammen med b+c+n+o, og sentrumskvadratet.

Se også:  Magiske ◻    ▭   Matematikkordbok.html 

Polygoner  –  er mangekanter.

Se også:  Polygon   □    ◯    △   Trekant.html  Matematikkordbok.html 

Sirkler  –  kan sees på som en mangekanter med uendelig mange hjørner og hvor alle vinklene er like.

Se også:   ◯   Polygon  Trekant.html  Fysikkordbok.html  Matematikkordbok.html 

Trekanter  –  finnes av flere undertyper:

Likesidet. Likebeint. Rettvinklet. Stumpvinklet.

Se også:   △    □   Polygon  ◯  Trekant.html  Matematikkordbok.html